Чему равна площадь треугольника?


161
161 points

Это задача из Американского экзамена по математике AIME (American Invitational Mathematics Examination). Довольно сложный 3-часовой тест AIME с 15 вопросами является вторым из тестов, которые используются для отбора на Математическую олимпиаду США USAMO (United States of America Mathematical Olympiad).

Через точку P, расположенную внутри треугольника ABC, проведены 3 линии, параллельные сторонам треугольника. При этом площади образовавшихся в результате меньших треугольников составляют 4, 9 и 49.

Чему равна площадь треугольника ABC?

Нажмите здесь, чтобы узнать правильный ответ!

Площадь треугольника ABC равна 144

Так как линии, проведенные через точку P, параллельны сторонам треугольника ABC, то все изображенные треугольники подобны друг другу, включая треугольник ABC.

А как известно, отношение площадей подобных треугольников равно отношению квадратов длин их сторон.

Поэтому, исходя из того, что площади меньших треугольников относятся друг к другу как 4:9:49, стороны меньших треугольников относятся друг к другу как 2:3:7.

В то же время сумма длин соответствующих сторон меньших треугольников равна длинам сторон большого треугольника. Так что можно записать, что стороны всех 4 треугольников относятся друг к другу как 2:3:7:12, ведь 2+3+7=12.

А исходя из этого получается, что отношение их площадей равно 4:9:49:144, ведь 12 в квадрате равно 144.

Так что площадь треугольника ABC составляет 144.


Понравилось? Поделитесь с друзьями!

161
161 points
Василий Вдовиченко
Южная научно-исследовательская лаборатория

0 комментариев

Комментирование постов осуществляется в соответствии с Политикой комментирования