ruua

Какова площадь треугольника со вписанными окружностью и квадратом?


Квадрат находится внутри окружности, которую касаются только его углы. Окружность же вписана в равносторонний треугольник, касаясь только трех точек на его сторонах.

Чему равна площадь треугольника, если длина стороны квадрата составляет 2?

Чему равна площадь треугольника со вписанными окружностью и квадратом
Нажмите здесь, чтобы узнать правильный ответ!

Как известно, площадь треугольника равна произведению половины длины его основания на высоту: S = 1/2 × a × h.

Так как длина стороны квадрата равна 2, то расстояние от центра квадрата до его угла r можно найти с помощью теоремы Пифагора:

r = √(1² + 1²) = √2.

Поскольку угол квадрата находится на окружности, это расстояние также является радиусом окружности и кратчайшим расстоянием от центра окружности до сторон треугольника.

Известно, что в равностороннем треугольнике величина углов составляет 60 градусов, а линия от каждого угла до центра окружности делит эти углы пополам.

Эта биссектриса образует гипотенузу другого прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является r.

Чему равна площадь треугольника со вписанными окружностью и квадратом

С учетом того, что тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему, в нашем случае

tg30° = r/x, где x — половина длины стороны треугольника.

Тогда x = r/tg30°= r√3, а длина сторон треугольника a = 2r√3.

Исходя из этого, с помощью теоремы Пифагора можно вычислить высоту равностороннего треугольника:

h = √(4 × 3r² — 3r²) = 3r.

Поэтому площадь треугольника S = 1/2 × 2r√3 × 3r = r² × 33/2.

В итоге, учитывая, что r = √2, площадь равностороннего треугольника равна S = 2 × 33/2.